前 $3$ 个点直接暴力，前 $7$ 个点每次修改的时候只需要把影响了的 $O(m)$ 个点改一下就行，$12\sim 16$ 号点使用 bitset 优化。

首先所有数同余可以两两做一个差分，就可以将问题转化为所有 $d_i$ 是否全部为 $mod$ 的倍数。

注意到此时只需要将 $b_i$ 差分一下即可。

考虑如何判定是否全部为 $mod$ 的倍数。考虑随机化算法。

随机若干个 $d_i$（$c_i$ 的差分）判断是否为 $mod$ 倍数显然没啥道理，我们希望将多个 $d_i$ 合并在一起判断。

我们声称，若 $d_i$ 不全为 $mod$ 的倍数，随机选择一个子集，则其所有 $d_i$ 之和不为 $mod$ 的倍数的概率至少为 $\frac12$。

考虑选出 $d_i$ 不为 $mod$ 的倍数的某个 $i$，假设这个子集在除了 $i$ 以外的 $d_{i'}$ 的和为 $sum$，那么选 $d_i$ 和不选 $d_i$ 至少有一个会导致最终的和不为 $mod$ 的倍数，因此概率至少为 $\frac12$。

但是每次暴力随机子集只会导致复杂度变高。考虑初始就随 $B$ 个子集，计算每个 $a_i$ 对这个子集 $sum$ 的系数，然后每次修改就可以 $O(B)$ 计算每个子集的新 $sum$ 了。

预处理 $O(nmB)$，单次修改询问 $O(B)$，单次询问正确率 $O(1-2^{-B})$，取 $B=O(\log q)$ 即可，总复杂度 $O(nm\log q+q\log q)$。

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本题的部分分从直接维护卷积值开始。较小的 $n,m,q$ 允许选手在每次修改后重新计算所有 $c_i$，或者维护受影响的一段 $c_i$。进一步的数据规模要求观察到“所有 $c_i\bmod p$ 相同”等价于相邻差值全部为 $0$，从而把问题转成维护一组线性条件。特殊性质 A 中 $p$ 为素数且 $b_i$ 非零，更适合使用代数工具分析；特殊性质 B 中 $p=2$，可以用异或或二进制线性关系处理。满分数据需要进一步压缩这些线性条件，或使用高强度随机线性校验等动态线性判定技巧，使单次修改复杂度与 $n,m$ 脱离。