固定 $c,y$，可以发现 $f(c,x,y)$ 关于 $x$ 是下凸的。在 $\R$ 上考虑，那么最小值一定是在某个 $x=\dfrac{a_i}{c_i}$ 处取到。因此改为在 $\Z$ 上考虑，那么最小值一定是在某个 $x=\left\lfloor\dfrac{a_i}{c_i}\right\rfloor,\left\lceil\dfrac{a_i}{c_i}\right\rceil$ 处取到。

现在不固定 $c,y$，通过整除分块可以得出可能的 $x$ 只有 $O(n\sqrt V)$ 种。对于 $y$ 也是类似的。

我们枚举 $x,y$ 中较大的一个。不妨设 $x\ge y$。

固定 $y$，此时每个 $c_i$ 都是独立的。在 $\R$ 上考虑，那么 $|a_i-c_ix|+|b_i-c_iy|$ 的最小值一定在 $c_i=\dfrac{a_i}{x}$ 处取到。因此改为在 $\Z$ 上考虑，那么最小值一定是在某个 $c_i=\left\lfloor\dfrac{a_i}{x}\right\rfloor,\left\lceil\dfrac{a_i}{x}\right\rceil$ 处取到。

现在不固定 $y$，一种暴力的方法是直接 $O(2^n)$ 地枚举每个 $c_i$ 的取值，并计算 $f(c,x,y)$ 的最小值。这可以在 $O(n)$ 或 $O(n\log n)$ 内解决。总时间复杂度为 $O(n^22^n\sqrt V)$ 或 $O(n^2\log n2^n\sqrt V)$。

但我们也可以对于每个 $i$，求出 $y$ 变化的过程中 $|a_i-c_ix|+|b_i-c_iy|$ 的取值情况。根据之前对 $c_i$ 的分析可以得到这个函数是关于 $y$ 的 $O(1)$ 段分段一次函数。只需要将所有函数都叠加起来即可求出 $f(c,x,y)$ 的最小值。这可以在 $O(n)$ 或 $O(n\log n)$ 内解决。总时间复杂度为 $O(n^2\sqrt V)$ 或 $O(n^2\log n\sqrt V)$。常数较大。