AIOJ

约定：字符串下标以 $0$ 为起点．

定义

对于一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ，定义函数 $z[i]$ 表示 $s$ 和 $s[i,n-1]$ （即以 $s[i]$ 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度，则 $z$ 被称为 $s$ 的 Z 函数．特别地， $z[0] = 0$ ．

国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm，而国内则称其为 扩展 KMP（exKMP）．

这篇文章介绍在 $O(n)$ 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用．

解释

下面若干样例展示了对于不同字符串的 Z 函数：

$z(\mathtt{aaaaa}) = [0, 4, 3, 2, 1]$
$z(\mathtt{aaabaab}) = [0, 2, 1, 0, 2, 1, 0]$
$z(\mathtt{abacaba}) = [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1]$

朴素算法

Z 函数的朴素算法复杂度为 $O(n^2)$ ：

实现

C++

vector<int> z_function_trivial(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1; i < n; ++i)
    while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
  return z;
}

Python

def z_function_trivial(s):
    n = len(s)
    z = [0] * n
    for i in range(1, n):
        while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
            z[i] += 1
    return z

线性算法

如同大多数字符串主题所介绍的算法，其关键在于，运用自动机的思想寻找限制条件下的状态转移函数，使得可以借助之前的状态来加速计算新的状态．

在该算法中，我们从 $1$ 到 $n-1$ 顺次计算 $z[i]$ 的值（ $z[0]=0$ ）．在计算 $z[i]$ 的过程中，我们会利用已经计算好的 $z[0],\ldots,z[i-1]$ ．

对于 $i$ ，我们称区间 $[i,i+z[i]-1]$ 是 $i$ 的 匹配段，也可以叫 Z-box．

算法的过程中我们维护右端点最靠右的匹配段．为了方便，记作 $[l,r]$ ．根据定义， $s[l,r]$ 是 $s$ 的前缀．在计算 $z[i]$ 时我们保证 $l\le i$ ．初始时 $l=r=0$ ．

在计算 $z[i]$ 的过程中：

如果 $i\le r$ $i \leq r$ ，那么根据 $[l,r]$ $[l, r]$ 的定义有 $s[i,r] = s[i-l,r-l]$ $s [i, r] = s [i - l, r - l]$ ，因此 $z[i]\ge \min(z[i-l],r-i+1)$ $z [i] \geq min (z [i - l], r - i + 1)$ ．这时：
- 若 $z[i-l] < r-i+1$ ，则 $z[i] = z[i-l]$ ．
- 否则 $z[i-l]\ge r-i+1$ ，这时我们令 $z[i] = r-i+1$ ，然后暴力枚举下一个字符扩展 $z[i]$ 直到不能扩展为止．
如果 $i>r$ ，那么我们直接按照朴素算法，从 $s[i]$ 开始比较，暴力求出 $z[i]$ ．
在求出 $z[i]$ 后，如果 $i+z[i]-1>r$ ，我们就需要更新 $[l,r]$ ，即令 $l=i, r=i+z[i]-1$ ．

可以访问这个网站来看 Z 函数的模拟过程．

实现

C++

vector<int> z_function(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> z(n);
  for (int i = 1, l = 0, r = 0; i < n; ++i) {
    if (i <= r && z[i - l] < r - i + 1) {
      z[i] = z[i - l];
    } else {
      z[i] = max(0, r - i + 1);
      while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i + z[i]]) ++z[i];
    }
    if (i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
  }
  return z;
}

Python

def z_function(s):
    n = len(s)
    z = [0] * n
    l, r = 0, 0
    for i in range(1, n):
        if i <= r and z[i - l] < r - i + 1:
            z[i] = z[i - l]
        else:
            z[i] = max(0, r - i + 1)
            while i + z[i] < n and s[z[i]] == s[i + z[i]]:
                z[i] += 1
        if i + z[i] - 1 > r:
            l = i
            r = i + z[i] - 1
    return z

复杂度分析

对于内层 while 循环，每次执行都会使得 $r$ 向后移至少 $1$ 位，而 $r< n-1$ ，所以总共只会执行 $n$ 次．

对于外层循环，只有一遍线性遍历．

总复杂度为 $O(n)$ ．

应用

我们现在来考虑在若干具体情况下 Z 函数的应用．

这些应用在很大程度上同前缀函数的应用类似．

匹配所有子串

为了避免混淆，我们将 $t$ 称作文本，将 $p$ 称作模式．所给出的问题是：寻找在文本 $t$ 中模式 $p$ 的所有出现（occurrence）．

为了解决该问题，我们构造一个新的字符串 $s = p + \diamond + t$ ，也即我们将 $p$ 和 $t$ 连接在一起，但是在中间放置了一个分割字符 $\diamond$ （我们将如此选取 $\diamond$ 使得其必定不出现在 $p$ 和 $t$ 中）．

首先计算 $s$ 的 Z 函数．接下来，对于在区间 $[0,|t| - 1]$ 中的任意 $i$ ，我们考虑以 $t[i]$ 为开头的后缀在 $s$ 中的 Z 函数值 $k = z[i + |p| + 1]$ ．如果 $k = |p|$ ，那么我们知道有一个 $p$ 的出现位于 $t$ 的第 $i$ 个位置，否则没有 $p$ 的出现位于 $t$ 的第 $i$ 个位置．

其时间复杂度（同时也是其空间复杂度）为 $O(|t| + |p|)$ ．

本质不同子串数

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ，计算 $s$ 的本质不同子串的数目．

考虑计算增量，即在知道当前 $s$ 的本质不同子串数的情况下，计算出在 $s$ 末尾添加一个字符后的本质不同子串数．

令 $k$ 为当前 $s$ 的本质不同子串数．我们添加一个新的字符 $c$ 至 $s$ 的末尾．显然，会出现一些以 $c$ 结尾的新的子串（以 $c$ 结尾且之前未出现过的子串）．

设串 $t$ 是 $s + c$ 的反串（反串指将原字符串的字符倒序排列形成的字符串）．我们的任务是计算有多少 $t$ 的前缀未在 $t$ 的其他地方出现．考虑计算 $t$ 的 Z 函数并找到其最大值 $z_{\max}$ ．则 $t$ 的长度小于等于 $z_{\max}$ 的前缀的反串在 $s$ 中是已经出现过的以 $c$ 结尾的子串．

所以，将字符 $c$ 添加至 $s$ 后新出现的子串数目为 $|t| - z_{\max}$ ．

算法时间复杂度为 $O(n^2)$ ．

值得注意的是，我们可以用同样的方法在 $O(n)$ 时间内，重新计算在端点处添加一个字符或者删除一个字符（从尾或者头）后的本质不同子串数目．

字符串整周期

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ，找到其最短的整周期，即寻找一个最短的字符串 $t$ ，使得 $s$ 可以被若干个 $t$ 拼接而成的字符串表示．

考虑计算 $s$ 的 Z 函数，则其整周期的长度为最小的 $n$ 的因数 $i$ ，满足 $i+z[i]=n$ ．

该事实的证明同应用前缀函数的证明一样．

练习题目

本页面主要译自博文 Z-функция строки и её вычисление 与其英文翻译版 Z-function and its calculation．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．