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本文介绍 A* 搜索算法．

A* 搜索算法（A* search algorithm，A* 读作 A-star），简称 A* 算法，是一种在带权有向图上，找到给定起点与终点之间的最短路径的算法．它属于图遍历（graph traversal）和最佳优先搜索算法（best-first search），亦是 BFS 的改进．

过程

A* 算法的目标是找到有向图上从起点 $s$ 到终点 $t$ 的最短路径．设 $d(x,y)$ 为结点 $x$ 与 $y$ 之间的距离，也就是它们之间最短路径的长度．记 $g(x)=d(s,x)$ 为从起点 $s$ 到结点 $x$ 的距离函数， $h^*(x)$ 为从结点 $x$ 到终点 $t$ 的距离函数， $h(x)$ 为 $h^*(x)$ 的一个估计¹．最后，记从 $s$ 出发经由 $x$ 到达 $t$ 的最短路径长度的估计为

f(x) = g(x) + h(x).

搜索时，A* 算法每次从优先队列中取出一个 $f$ 最小的结点．然后，将它的所有后继结点 $x$ 都推入优先队列中，并利用实际记录的 $g(x)$ 和估计的 $h(x)$ 更新 $f(x)$ ．

性质

由于 $h^*(x)$ 的实际值在搜索的时候是未知的，所以，需要使用容易计算的 $h(x)$ 作为它的估计．A* 搜索的实际复杂度就取决于这一估计函数 $h(x)$ 的性质．容易想象，如果 $h\equiv h^*$ ，也就是说，估计是精确的，那么，搜索过程就会严格按照最短路径前进．而如果 $h\equiv 0$ ，那么，A* 算法就退化为 Dijkstra 算法；当 $h\equiv 0$ 并且边权为 $1$ 时，这就是 BFS．

假设图没有负权边．如果估计 $h(x)$ 永远不超过实际距离 $h^*(x)$ ，即 $0\le h\le h^*$ ，那么，A* 算法就一定能够找到最优解．满足这一条件的估计函数 $h(x)$ 称为 可采纳的（admissible）．根据前文的讨论， $h$ 越接近 $h^*$ ，相应的 A* 算法效率就越高．一般来说，在最差情形中，算法会经过所有满足

f(x) = g(x) + h(x) \le C^*

的结点，其中， $C^*$ 是起点 $s$ 和终点 $t$ 之间的最短距离．直觉上， $h$ 越接近 $h^*$ ，每次扩展时，能够满足该条件的后继结点就越少，因此，算法搜索到的分支就越少．所以，A* 算法可以看作是对搜索算法的一种「剪枝」优化．

如果 $h$ 不仅是可采纳的，还是 一致的（consistent），即

h(x) \le h(y) + d(x, y),

那么，A* 算法不会将已经弹出队列的结点再次加入队列．一致性条件，可以理解为结点 $x,y,t$ 之间的三角形不等式．

例题

A* 算法的一个经典应用是解决 k 短路问题．关于该问题的描述、A* 做法，以及复杂度更优的可持久化可并堆做法，请移步 k 短路问题页面．

本节介绍一个可以用 A* 算法解决的经典问题．

八数码

在 $3\times 3$ 的棋盘上，摆有八个棋子，每个棋子上标有 $1$ 至 $8$ 的某一数字．棋盘中留有一个空格，空格用 $0$ 来表示．空格周围的棋子可以移到空格中，这样原来的位置就会变成空格．给出一种初始布局和目标布局（为了使题目简单，设目标状态如下），找到一种从初始布局到目标布局最少步骤的移动方法．

\begin{aligned} 123\\ 804\\ 765 \end{aligned}

解题思路

$h$ 函数可以定义为，不在应该在的位置的棋子个数．容易发现， $h$ 既是可采纳的，也是一致的．此题可以使用 A* 算法求解．

参考代码

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
using namespace std;
constexpr int dx[4] = {1, -1, 0, 0}, dy[4] = {0, 0, 1, -1};
int fx, fy;
char ch;

struct matrix {
  int a[5][5];

  bool operator<(matrix x) const {
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
      for (int j = 1; j <= 3; j++)
        if (a[i][j] != x.a[i][j]) return a[i][j] < x.a[i][j];
    return false;
  }
} f, st;

int h(matrix a) {
  int ret = 0;
  for (int i = 1; i <= 3; i++)
    for (int j = 1; j <= 3; j++)
      if (a.a[i][j] != st.a[i][j] && a.a[i][j] != 0) ret++;
  return ret;
}

struct node {
  matrix a;
  int t;

  bool operator<(node x) const { return t + h(a) > x.t + h(x.a); }
} x;

priority_queue<node> q;  // 搜索队列
set<matrix> s;           // 防止搜索队列重复

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  st.a[1][1] = 1;  // 定义标准表
  st.a[1][2] = 2;
  st.a[1][3] = 3;
  st.a[2][1] = 8;
  st.a[2][2] = 0;
  st.a[2][3] = 4;
  st.a[3][1] = 7;
  st.a[3][2] = 6;
  st.a[3][3] = 5;
  for (int i = 1; i <= 3; i++)  // 输入
    for (int j = 1; j <= 3; j++) {
      cin >> ch;
      f.a[i][j] = ch - '0';
    }
  s.insert(f);
  q.push({f, 0});
  while (!q.empty()) {
    x = q.top();
    q.pop();
    if (!h(x.a)) {  // 判断是否与标准矩阵一致
      cout << x.t << '\n';
      return 0;
    }
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
      for (int j = 1; j <= 3; j++)
        if (!x.a.a[i][j]) fx = i, fy = j;  // 查找空格子（0号点）的位置
    for (int i = 0; i < 4; i++) {  // 对四种移动方式分别进行搜索
      int xx = fx + dx[i], yy = fy + dy[i];
      if (1 <= xx && xx <= 3 && 1 <= yy && yy <= 3) {
        swap(x.a.a[fx][fy], x.a.a[xx][yy]);
        if (!s.count(x.a))
          s.insert(x.a),
              q.push({x.a, x.t + 1});  // 这样移动后，将新的情况放入搜索队列中
        swap(x.a.a[fx][fy], x.a.a[xx][yy]);  // 如果不这样移动的情况
      }
    }
  }
  return 0;
}

参考资料与注释

A* search algorithm - Wikipedia

Footnotes

此处的 $h$ 意为 heuristic．详见启发式搜索 - 维基百科和 A* search algorithm - Wikipedia 的 Bounded relaxation 一节． ↩