平衡三进制

我们利用 反证法 来求证：

假设一个十进制数 $Y_{10}$，存在两个 不同的平衡三进制数 $A_3,B_3$ 转化成十进制时等于 $Y_{10}$，即证 $A_3 = B_3$．分情况讨论：

1. 当 $Y_{10}=0$，显然 $A_3 = B_3 = 0_3$，与假设矛盾．

2. 当 $Y_{10}>0$：

   • 将 $A_3$，$B_3$ 的数位按低位到高位编号，记 $a_i$ 为 $A_3$ 的第 $i$ 位，$b_i$ 为 $B$ 的第 $i$ 位．在 $A_3,B_3$ 中，必存在 $i$ 使得 $a_i\neq b_i$．可以发现第 $i-1,i-2,\dots,0$ 位均与证明无关．因此，将 $A_3,B_3$ 按位右移 $i$ 位，得到 $A_3',B_3'$，原问题等价于证明 $A_3'=B_3'$．
   • 对于 $A_3',B_3'$ 第 $0$ 位，$a_0 \neq b_0$．假设 $b_0 > a_0$（$a_0>b_0$ 时结果相同），易知 $b_0 - a_0 \in \{1,2\}$．$A_3'$ 的位 $i=1,2,3,\dots$ 对于 $A_3'$ 的值的贡献为 $S_1 = a_1 \times 3^1 + a_2 \times 3^2+ \dots$，$B_3'$ 的位 $i=1,2,3,\dots$ 对于 $B_3'$ 的值的贡献为 $S_2 = b_1 \times 3^1 + b_2 \times 3^2 + \dots$．由于 $A_3' = B_3'$，得 $S_1 - S_2 = b_0 - a_0$．$S_1,S_2$ 有公因子 $3$，而 $b_0 - a_0$ 不能被 $3$ 整除，与假设矛盾，因此 $A_3'\neq B_3'$

3. 当 $Y_{10}<0$，证法与 $Y_{10}>0$ 相同．

故对于任意十进制 $Y_{10}$，均有唯一对应的平衡三进制 $X_3$．