最大公约数

定义

最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd．

一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数．$\pm 1$ 是任意一组整数的公约数．

一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个．

对不全为 $0$ 的整数 $a,b$，将其最大公约数记为 $\gcd(a,b)$，不引起歧义时可简写为 $(a,b)$．

对不全为 $0$ 的整数 $a_1,\dots,a_n$，将其最大公约数记为 $\gcd(a_1,\dots,a_n)$，不引起歧义时可简写为 $(a_1,\dots,a_n)$．

最大公约数与最小公倍数的性质见 数论基础．

那么如何求最大公约数呢？我们先考虑两个数的情况．

欧几里得算法

过程

如果我们已知两个数 $a$ 和 $b$，如何求出二者的最大公约数呢？

不妨设 $a > b$．

我们发现如果 $b$ 是 $a$ 的约数，那么 $b$ 就是二者的最大公约数． 下面讨论不能整除的情况，即 $a = b \times q + r$，其中 $r < b$．

我们通过证明可以得到 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)$，过程如下：

既然得到了 $\gcd(a, b) = \gcd(b, r)$，这里两个数的大小是不会增大的，那么我们也就得到了关于两个数的最大公约数的一个递归求法．

实现

C++

// Version 1
int gcd(int a, int b) {
  if (b == 0) return a;
  return gcd(b, a % b);
}

// Version 2
int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

Java

// Version 1
public int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// Version 2
public int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

Python

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

递归至 b == 0（即上一步的 a % b == 0）的情况再返回值即可．

根据上述递归求法，我们也可以写出一个迭代求法：

C++

int gcd(int a, int b) {
  while (b != 0) {
    int tmp = a;
    a = b;
    b = tmp % b;
  }
  return a;
}

Java

public int gcd(int a, int b) {
    while(b != 0) {
        int tmp = a;
        a = b;
        b = tmp % b;
    }
    return a;
}

Python

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

上述算法都可被称作欧几里得算法（Euclidean algorithm）．

另外，对于 C++17，我们可以使用 <numeric> 头中的 std::gcd 与 std::lcm 来求最大公约数和最小公倍数．

如果两个数 $a$ 和 $b$ 满足 $\gcd(a, b) = 1$，我们称 $a$ 和 $b$ 互质．

性质

欧几里得算法的时间效率如何呢？下面我们证明，在输入为两个长为 $n$ 的二进制整数时，欧几里得算法的时间复杂度为 $O(n)$．（换句话说，在默认 $a, b$ 同阶的情况下，时间复杂度为 $O(\log\max(a, b))$．）

事实上，假如我们试着用欧几里得算法去求 斐波那契数列 相邻两项的最大公约数，会让该算法达到最坏复杂度．

更相减损术

大整数取模的时间复杂度较高，而加减法时间复杂度较低．针对大整数，我们可以用加减代替乘除求出最大公约数．

过程

已知两数 $a$ 和 $b$，求 $\gcd(a,b)$．

不妨设 $a \ge b$，若 $a = b$，则 $\gcd(a,b)=a=b$． 否则，$\forall d\mid a, d\mid b$，可以证明 $d\mid a-b$．

因此，$a$ 和 $b$ 的 所有 公因数都是 $a-b$ 和 $b$ 的公因数，$\gcd(a,b) = \gcd(a-b, b)$．

Stein 算法的优化

如果 $a\gg b$，更相减损术的 $O(n)$ 复杂度将会达到最坏情况．

考虑一个优化，若 $2\mid a,2\mid b$，$\gcd(a,b) = 2\gcd\left(\dfrac a2, \dfrac b2\right)$．

否则，若 $2\mid a$（$2\mid b$ 同理），因为 $2\mid b$ 的情况已经讨论过了，所以 $2 \nmid b$．因此 $\gcd(a,b)=\gcd\left(\dfrac a2,b\right)$．

优化后的算法（即 Stein 算法）时间复杂度是 $O(\log n)$．

实现

高精度模板见 高精度计算．

高精度运算需实现：减法、大小比较、左移、右移（可用低精乘除代替）、二进制末位 0 的个数（可以通过判断奇偶暴力计算）．

Big gcd(Big a, Big b) {
  if (a == 0) return b;
  if (b == 0) return a;
  // 记录a和b的公因数2出现次数，countr_zero表示二进制末位0的个数
  int atimes = countr_zero(a);
  int btimes = countr_zero(b);
  int mintimes = min(atimes, btimes);
  a >>= atimes;
  for (;;) {
    // a和b公因数中的2已经计算过了，后面不可能出现a为偶数的情况
    b >>= btimes;
    // 确保 a<=b
    if (a > b) swap(a, b);
    b -= a;
    if (b == 0) break;
    btimes = countr_zero(b);
  }
  return a << mintimes;
}

上述代码参考了 libstdc++ 和 MSVC 对 C++17 std::gcd 的实现．在 unsigned int 和 unsigned long long 的数据范围下，如果可以以极快的速度计算 countr_zero，则 Stein 算法比欧几里得算法来得快，但反之则可能比欧几里得算法慢．

constexpr int loghash[64] = {0,  32, 48, 56, 60, 62, 63, 31, 47, 55, 59, 61, 30,
                             15, 39, 51, 57, 28, 46, 23, 43, 53, 58, 29, 14, 7,
                             35, 49, 24, 44, 54, 27, 45, 22, 11, 37, 50, 25, 12,
                             38, 19, 41, 52, 26, 13, 6,  3,  33, 16, 40, 20, 42,
                             21, 10, 5,  34, 17, 8,  36, 18, 9,  4,  2,  1};

int countr_zero(unsigned long long x) {
  return loghash[(x & -x) * 0x9150D32D8EB9EFC0Ui64 >> 58];
}

// 以小端序实现的二进制 Big，要求能枚举每一个元素
int countr_zero(Big a) {
  int ans = 0;
  for (auto x : a) {
    if (x != 0) {
      ans += 32;  // 每一位数据类型的位长
    } else {
      return ans + countr_zero(x);
    }
  }
  return ans;
}

// 暴力计算，如需使用建议直接写进 gcd 加快常数
int countr_zero(Big a) {
  int ans = 0;
  while ((a & 1) == 0) {
    a >>= 1;
    ++ans;
  }
  return ans;
}

更多关于 gcd 实现上快慢的讨论可阅读 Fastest way to compute the greatest common divisor．

多个数的最大公约数

那怎么求多个数的最大公约数呢？显然答案一定是每个数的约数，那么也一定是每相邻两个数的约数．我们采用归纳法，可以证明，每次取出两个数求出答案后再放回去，不会对所需要的答案造成影响．

最小公倍数

接下来我们介绍如何求解最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）．

定义

一组整数的公倍数，是指同时是这组数中每一个数的倍数的数．0 是任意一组整数的公倍数．

一组整数的最小公倍数，是指所有正的公倍数里面，最小的一个数．

对整数 $a,b$，将其最小公倍数记为 $\operatorname{lcm}(a,b)$，不引起歧义时可简写为 $[a,b]$．

对整数 $a_1,\dots,a_n$，将其最小公倍数记为 $\operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_n)$，不引起歧义时可简写为 $[a_1,\dots,a_n]$．

两个数

设 $a = p_1^{k_{a_1}}p_2^{k_{a_2}} \cdots p_s^{k_{a_s}}$，$b = p_1^{k_{b_1}}p_2^{k_{b_2}} \cdots p_s^{k_{b_s}}$

我们发现，对于 $a$ 和 $b$ 的情况，二者的最大公约数等于

$p_1^{\min(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\min(k_{a_2}, k_{b_2})} \cdots p_s^{\min(k_{a_s}, k_{b_s})}$

最小公倍数等于

$p_1^{\max(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\max(k_{a_2}, k_{b_2})} \cdots p_s^{\max(k_{a_s}, k_{b_s})}$

由于 $k_a + k_b = \max(k_a, k_b) + \min(k_a, k_b)$

所以得到结论是 $\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b$

要求两个数的最小公倍数，先求出最大公约数即可．

多个数

可以发现，当我们求出两个数的 $\gcd$ 时，求最小公倍数是 $O(1)$ 的复杂度．那么对于多个数，我们其实没有必要求一个共同的最大公约数再去处理，最直接的方法就是，当我们算出两个数的 $\gcd$，或许在求多个数的 $\gcd$ 时候，我们将它放入序列对后面的数继续求解，那么，我们转换一下，直接将最小公倍数放入序列即可．

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm, EXGCD），常用于求 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组可行解．

过程

设

$ax_1+by_1=\gcd(a,b)$

$bx_2+(a\bmod b)y_2=\gcd(b,a\bmod b)$

由欧几里得定理可知：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$

所以 $ax_1+by_1=bx_2+(a\bmod b)y_2$

又因为 $a\bmod b=a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)$

所以 $ax_1+by_1=bx_2+(a-(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b))y_2$

$ax_1+by_1=ay_2+bx_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by_2=ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2)$

因为 $a=a,b=b$，所以 $x_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_2$

将 $x_2,y_2$ 不断代入递归求解直至 $b$ 为 $0$ 递归 $x=1,y=0$ 回去求解．

实现

C++

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

Python

def Exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    d, x, y = Exgcd(b, a % b)
    return d, y, x - (a // b) * y

函数返回的值为 $\gcd$，在这个过程中计算 $x,y$ 即可．

值域分析

$ax+by=\gcd(a,b)$ 的解有无数个，显然其中有的解会爆 long long．
万幸的是，若 $b\not= 0$，扩展欧几里得算法求出的可行解必有 $|x|\le b,|y|\le a$．
下面给出这一性质的证明．

迭代法编写扩展欧几里得算法

首先，当 $x = 1$，$y = 0$，$x_1 = 0$，$y_1 = 1$ 时，显然有：

成立．

已知 $a\bmod b = a - (\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b)$，下面令 $q = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor$．参考迭代法求 gcd，每一轮的迭代过程可以表示为：

将迭代过程中的 $a$ 替换为 $ax + by = a$，$b$ 替换为 $ax_1 + by_1 = b$，可以得到：

据此就可以得到迭代法求 exgcd．

因为迭代的方法避免了递归，所以代码运行速度将比递归代码快一点．

int gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  x = 1, y = 0;
  int x1 = 0, y1 = 1, a1 = a, b1 = b;
  while (b1) {
    int q = a1 / b1;
    tie(x, x1) = make_tuple(x1, x - q * x1);
    tie(y, y1) = make_tuple(y1, y - q * y1);
    tie(a1, b1) = make_tuple(b1, a1 - q * b1);
  }
  return a1;
}

如果你仔细观察 $a_1$ 和 $b_1$，你会发现，他们在迭代版本的欧几里德算法中取值完全相同，并且以下公式无论何时（在 while 循环之前和每次迭代结束时）都是成立的：$x \cdot a +y \cdot b =a_1$ 和 $x_1 \cdot a +y_1 \cdot b= b_1$．因此，该算法肯定能正确计算出 $\gcd$．

最后我们知道 $a_1$ 就是要求的 $\gcd$，有 $x \cdot a +y \cdot b = g$．

矩阵的解释

对于正整数 $a$ 和 $b$ 的一次辗转相除即 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$ 使用矩阵表示如

其中向下取整符号 $\lfloor c\rfloor$ 表示不大于 $c$ 的最大整数．我们定义变换 $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}0&1\\1&-\lfloor a/b\rfloor\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$．

易发现欧几里得算法即不停应用该变换，有

令

那么

满足 $a\cdot x_1+b\cdot x_2=\gcd(a,b)$ 即扩展欧几里得算法，注意在最后乘了一个单位矩阵不会影响结果，提示我们可以在开始时维护一个 $2\times 2$ 的单位矩阵编写更简洁的迭代方法如

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  int x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 1;
  while (b != 0) {
    int c = a / b;
    std::tie(x1, x2, x3, x4, a, b) =
        std::make_tuple(x3, x4, x1 - x3 * c, x2 - x4 * c, b, a - b * c);
  }
  x = x1, y = x2;
  return a;
}

这种表述相较于递归更简单．

应用

• 10104 - Euclid Problem
• GYM - (J) once upon a time
• UVa - 12775 - Gift Dilemma

参考资料与链接