欧拉函数

定义

欧拉函数（Euler's totient function），即 $\varphi(n)$，表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数．

比如说 $\varphi(1) = 1$．

当 $n$ 是质数的时候，显然有 $\varphi(n) = n - 1$．

性质

• 欧拉函数是 积性函数．

  即对任意满足 $\gcd(a, b) = 1$ 的整数 $a,b$，有 $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$．

  特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$．

  证明参见 剩余系的复合．

• $n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$．

  ???+ note "证明" 利用 莫比乌斯反演 相关知识可以得出．

  也可以这样考虑：如果 $\gcd(k, n) = d$，那么 $\gcd(\dfrac{k}{d},\dfrac{n}{d}) = 1, ( k < n )$．
  
  如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数，那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(i)}$．
  
  根据上面的证明，我们发现，$f(x) = \varphi(\dfrac{n}{x})$，从而 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(\dfrac{n}{d})$．注意到约数 $d$ 和 $\dfrac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(d)$．
  

• 若 $n = p^k$，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$． （根据定义可知）

• 由唯一分解定理，设 $n = \prod_{i=1}^{s}p_i^{k_i}$，其中 $p_i$ 是质数，有 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$．

  ???+ note "证明" - 引理：设 $p$ 为任意质数，那么 $\varphi(p^k)=p^{k-1}\times(p-1)$．

      证明：显然对于从 1 到 $p^k$ 的所有数中，除了 $p^{k-1}$ 个 $p$ 的倍数以外其它数都与 $p^k$ 互素，故 $\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}\times(p-1)$，证毕．
  
  接下来我们证明 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$．由唯一分解定理与 $\varphi(x)$ 函数的积性
  
  $$
  \begin{aligned}
      \varphi(n) &= \prod_{i=1}^{s} \varphi(p_i^{k_i}) \\
      &= \prod_{i=1}^{s} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\
      &=\prod_{i=1}^{s} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\
      &=n~ \prod_{i=1}^{s} (1- \frac{1}{p_i})
      &\square
  \end{aligned}
  $$
  

• 对任意不全为 $0$ 的整数 $m,n$，$\varphi(mn)\varphi(\gcd(m,n))=\varphi(m)\varphi(n)\gcd(m,n)$．

  可由上一条直接计算得出．

实现

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了．这个过程可以用 Pollard Rho 算法优化．

#include <cmath>

int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

import math


def euler_phi(n):
    ans = n
    for i in range(2, math.isqrt(n) + 1):
        if n % i == 0:
            ans = ans // i * (i - 1)
            while n % i == 0:
                n = n // i
    if n > 1:
        ans = ans // n * (n - 1)
    return ans

如果是多个数的欧拉函数值，可以利用后面会提到的线性筛法来求得．

详见：筛法求欧拉函数

应用

欧拉函数常常用于化简一列最大公约数的和．国内有些文章称它为 欧拉反演¹．

在结论

中代入 $n=\gcd(a,b)$，则有

其中 $[\cdot]$ 为 Iverson 括号．对上式求和，就可以得到

这里关键的观察是 $\sum_{i=1}^n[d|i]=\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$，即在 $1$ 和 $n$ 之间能够被 $d$ 整除的 $i$ 的个数是 $\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$．

利用这个式子，就可以遍历约数求和了．需要多组查询的时候，可以预处理欧拉函数的前缀和，利用数论分块查询．

欧拉定理

与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理．其描述如下：

若 $\gcd(a, m) = 1$，则 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$．

扩展欧拉定理

当然也有扩展欧拉定理，用于处理一般的 $a$ 和 $m$ 的情形．

证明和习题详见 欧拉定理．

习题

• SPOJ ETF. Euler Totient Function
• UVa 10179. Irreducible Basic Fractions
• UVa 10299. Relatives
• UVa 11327. Enumerating Rational Numbers
• TIMUS 1673. Admission to Exam
• Luogu P1390 公约数的和
• Luogu P2155 [SDOI2008] 沙拉公主的困惑
• Luogu P2568 GCD

参考资料与注释