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错位排列

定义

错位排列（derangement）是没有任何元素出现在其有序位置的排列．即，对于 $1\sim n$ 的排列 $P$ ，如果满足 $P_i\neq i$ ，则称 $P$ 是 $n$ 的错位排列．

例如，三元错位排列有 $\{2,3,1\}$ 和 $\{3,1,2\}$ ．四元错位排列有 $\{2,1,4,3\}$ 、 $\{2,3,4,1\}$ 、 $\{2,4,1,3\}$ 、 $\{3,1,4,2\}$ 、 $\{3,4,1,2\}$ 、 $\{3,4,2,1\}$ 、 $\{4,1,2,3\}$ 、 $\{4,3,1,2\}$ 和 $\{4,3,2,1\}$ ．错位排列是没有不动点的排列，即没有长度为 1 的循环．

容斥原理的计算

全集 $U$ 即为 $1\sim n$ 的排列， $|U|=n!$ ；令 $S_i$ 是其中满足 $P_i\neq i$ 的排列．运用补集和容斥原理的知识，问题变成求：

\begin{aligned} \left|\bigcap_{i=1}^n S_i\right| &=|U|-\left|\bigcup_{i=1}^n\overline{S_i}\right|\\ &=n!-\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}\left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right| \end{aligned}

其中求和的含义是 $1, 2, \cdots, n$ 中取 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 且满足 $a_i<a_{i+1}$ ．于是

\left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right|

表示有 $k$ 个数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 满足 $P_{a_i}=a_i$ ，而剩下 $n-k$ 个数的位置任意的排列数，因此：

\left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right|=(n-k)!

这 $k$ 个数的选择情况共 $\dbinom{n}{k}$ 种，对其求和有：

\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{a_i<a_{i+1}}\left|\bigcap_{i=1}^{k}\overline{S_{a_i}}\right|\\ =&\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\dbinom{n}{k}(n-k)!\\ =&\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{n!}{k!}\\ =&n!\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1} }{k!} \end{aligned}

因此 $n$ 个元素的错位排列数为：

D_n=n!-n!\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1} }{k!}=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}

错位排列数列的前几项为 $0,1,2,9,44,265$ （OEIS A000166）．

递推的计算

把错位排列问题具体化，考虑这样一个问题：

$n$ 封不同的信，编号分别是 $1,2,3,4,5$ ，现在要把这五封信放在编号 $1,2,3,4,5$ 的信封中，要求信封的编号与信的编号不一样．问有多少种不同的放置方法？

假设考虑到第 $n$ 个信封，初始时暂时把第 $n$ 封信放在第 $n$ 个信封中，然后考虑两种情况的递推：

前面 $n-1$ 个信封全部装错；
前面 $n-1$ 个信封有一个没有装错其余全部装错．

对于第一种情况，前面 $n-1$ 个信封全部装错：因为前面 $n-1$ 个已经全部装错了，所以第 $n$ 封只需要与前面任一一个位置交换即可，总共有 $D_{n-1}\times (n-1)$ 种情况．

对于第二种情况，前面 $n-1$ 个信封有一个没有装错其余全部装错：考虑这种情况的目的在于，若 $n-1$ 个信封中如果有一个没装错，那么把那个没装错的与 $n$ 交换，即可得到一个全错位排列情况．

其他情况，不可能通过一次操作来把它变成一个长度为 $n$ 的错排．

于是可得，错位排列数满足递推关系：

D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})

这里也给出另一个递推关系：

D_n=nD_{n-1}+{(-1)}^n

其他关系

错位排列数有一个简单的取整表达式，增长速度与阶乘仅相差常数：

D_n=\left\lfloor\frac{n!}{\mathrm{e}} + \frac{1}{2}\right\rfloor

随着元素数量的增加，形成错位排列的概率 P 接近：

P=\lim_{n\to\infty}\frac{D_n}{n!}=\frac{1}{\mathrm{e}}