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简介

Lindström–Gessel–Viennot lemma，即 LGV 引理，可以用来处理有向无环图上不相交路径计数等问题．

前置知识：图论相关概念中的基础部分、矩阵、高斯消元求行列式．

LGV 引理仅适用于 有向无环图．

定义

$\omega(P)$ 表示 $P$ 这条路径上所有边的边权之积．（路径计数时，可以将边权都设为 $1$ ）（事实上，边权可以为生成函数）

$e(u, v)$ 表示 $u$ 到 $v$ 的 每一条 路径 $P$ 的 $\omega(P)$ 之和，即 $e(u, v)=\sum\limits_{P:u\rightarrow v}\omega(P)$ ．

起点集合 $A$ ，是有向无环图点集的一个子集，大小为 $n$ ．

终点集合 $B$ ，也是有向无环图点集的一个子集，大小也为 $n$ ．

一组 $A\rightarrow B$ 的不相交路径 $S$ ： $S_i$ 是一条从 $A_i$ 到 $B_{\sigma(S)_i}$ 的路径（ $\sigma(S)$ 是一个排列），对于任何 $i\ne j$ ， $S_i$ 和 $S_j$ 没有公共顶点．

$t(\sigma)$ 表示排列 $\sigma$ 的逆序对个数．

引理

M = \begin{bmatrix}e(A_1,B_1)&e(A_1,B_2)&\cdots&e(A_1,B_n)\\ e(A_2,B_1)&e(A_2,B_2)&\cdots&e(A_2,B_n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ e(A_n,B_1)&e(A_n,B_2)&\cdots&e(A_n,B_n)\end{bmatrix}

\det(M)=\sum\limits_{S:A\rightarrow B}(-1)^{t(\sigma(S))}\prod\limits_{i=1}^n \omega(S_i)

其中 $\sum\limits_{S:A\rightarrow B}$ 表示满足上文要求的 $A\rightarrow B$ 的每一组不相交路径 $S$ ．

证明

由行列式定义可得

\begin{align} \det(M)&=\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n e(a_i,b_{\sigma(i)})\\ &=\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \sum_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P) \end{align}

观察到 $\prod\limits_{i=1}^n \sum\limits_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P)$ ，实际上是所有从 $A$ 到 $B$ 排列为 $\sigma$ 的路径组 $P$ 的 $\omega(P)$ 之和．

\begin{align} &\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \sum_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P)\\ =&\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\sum_{P=\sigma}\omega(P)\\ =&\sum_{P:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \omega(P_i) \end{align}

此处 $P$ 为任意路径组．

设 $U$ 为不相交路径组， $V$ 为相交路径组，

\begin{align} &\sum_{P:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \omega(P_i)\\ =&\sum_{U:A\to B}(-1)^{t(U)}\prod_{i=1}^n \omega(U_i)+\sum_{V:A\to B}(-1)^{t(V)}\prod_{i=1}^n \omega(V_i) \end{align}

设 $P$ 中存在一个相交路径组 $P_i:a_1 \to u \to b_1,P_j:a_2 \to u \to b_2$ ，则必然存在和它相对的一个相交路径组 $P_i'=a_1\to u\to b_2,P_j'=a_2\to u\to b_1$ ， $P'$ 的其他路径与 $P$ 相同．可得 $\omega(P)=\omega(P'),t(P)=t(P')\pm 1$ ．

因此我们有 $\sum\limits_{V:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod\limits_{i=1}^n \omega(V_i)=0$ ．

则 $\det(M)=\sum\limits_{U:A\to B}(-1)^{t(U)}\prod\limits_{i=1}^n \omega(U_i)$ ．

证毕¹．

例题

例 1 CF348D Turtles

题意：有一个 $n\times m$ 的格点棋盘，其中某些格子可走，某些格子不可走．有一只海龟从 $(x, y)$ 只能走到 $(x+1, y)$ 和 $(x, y+1)$ 的位置，求海龟从 $(1, 1)$ 到 $(n, m)$ 的不相交路径数对 $10^9+7$ 取模之后的结果． $2\le n,m\le3000$ ．

比较直接的 LGV 引理的应用．考虑所有合法路径，发现从 $(1,1)$ 出发一定要经过 $A=\{(1,2), (2,1)\}$ ，而到达终点一定要经过 $B=\{(n-1, m), (n, m-1)\}$ ，则 $A, B$ 可立即选定．应用 LGV 引理可得答案为：

\begin{vmatrix} f(a_1, b_1) & f(a_1, b_2) \\ f(a_2, b_1) & f(a_2, b_2) \end{vmatrix} = f(a_1, b_1)\times f(a_2, b_2) - f(a_1, b_2)\times f(a_2, b_1)

其中 $f(a, b)$ 为图上 $a\rightarrow b$ 的路径数，带有障碍格点的路径计数问题可以直接做一个 $O(nm)$ 的 dp，则 $f$ 易求．最终复杂度 $O(nm)$ ．

参考代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

using ll = long long;
constexpr int MOD = 1e9 + 7;
constexpr int SIZE = 3010;

string board[SIZE];
int dp[SIZE][SIZE];

int f(int x1, int y1, int x2, int y2) {
  memset(dp, 0, sizeof dp);

  dp[x1][y1] = board[x1][y1] == '.';
  for (int i = 1; i <= x2; i++) {
    for (int j = 1; j <= y2; j++) {
      if (board[i][j] == '#') {
        continue;
      }
      dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j]) % MOD;
      dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][j - 1]) % MOD;
    }
  }
  return dp[x2][y2] % MOD;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  int n, m;
  cin >> n >> m;

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> board[i];
    board[i] = " " + board[i];
  }

  ll f11 = f(1, 2, n - 1, m);
  ll f12 = f(1, 2, n, m - 1);
  ll f21 = f(2, 1, n - 1, m);
  ll f22 = f(2, 1, n, m - 1);

  ll ans = ((f11 * f22) % MOD - (f12 * f21) % MOD + MOD) % MOD;
  cout << ans << '\n';

  return 0;
}

例 2 HDU 5852 Intersection is not allowed!

题意：有一个 $n\times n$ 的棋盘，一个棋子从 $(x, y)$ 只能走到 $(x, y+1)$ 或 $(x + 1, y)$ ，有 $k$ 个棋子，一开始第 $i$ 个棋子放在 $(1, a_i)$ ，最终要到 $(n, b_i)$ ，路径要两两不相交，求方案数对 $10^9+7$ 取模． $1\le n\le 10^5$ ， $1\le k\le 100$ ，保证 $1\le a_1<a_2<\dots<a_n\le n$ ， $1\le b_1<b_2<\dots<b_n\le n$ ．

观察到如果路径不相交就一定是 $a_i$ 到 $b_i$ ，因此 LGV 引理中一定有 $\sigma(S)_i=i$ ，不需要考虑符号问题．边权设为 $1$ ，直接套用引理即可．

从 $(1, a_i)$ 到 $(n, b_j)$ 的路径条数相当于从 $n-1+b_j-a_i$ 步中选 $n-1$ 步向下走，所以 $e(A_i, B_j)=\binom{n-1+b_j-a_i}{n-1}$ ．

行列式可以使用高斯消元求．

复杂度为 $O(n+k(k^2 + \log p))$ ，其中 $\log p$ 是求逆元复杂度．

参考代码

#include <algorithm>
#include <iostream>

using ll = long long;

constexpr int K = 105;
constexpr int N = 100005;
constexpr int mod = 1e9 + 7;

int T, n, k, a[K], b[K], fact[N << 1], m[K][K];

int qpow(int x, int y) {
  int out = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) out = (ll)out * x % mod;
    x = (ll)x * x % mod;
    y >>= 1;
  }
  return out;
}

int c(int x, int y) {
  return (ll)fact[x] * qpow(fact[y], mod - 2) % mod *
         qpow(fact[x - y], mod - 2) % mod;
}

using std::cin;
using std::cout;

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  fact[0] = 1;
  for (int i = 1; i < N * 2; ++i) fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;

  cin >> T;

  while (T--) {
    cin >> n >> k;

    for (int i = 1; i <= k; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= k; ++i) cin >> b[i];

    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
      for (int j = 1; j <= k; ++j) {
        if (a[i] <= b[j])
          m[i][j] = c(b[j] - a[i] + n - 1, n - 1);
        else
          m[i][j] = 0;
      }
    }

    for (int i = 1; i < k; ++i) {
      if (!m[i][i]) {
        for (int j = i + 1; j <= k; ++j) {
          if (m[j][i]) {
            std::swap(m[i], m[j]);
            break;
          }
        }
      }
      if (!m[i][i]) continue;
      int inv = qpow(m[i][i], mod - 2);
      for (int j = i + 1; j <= k; ++j) {
        if (!m[j][i]) continue;
        int mul = (ll)m[j][i] * inv % mod;
        for (int p = i; p <= k; ++p) {
          m[j][p] = (m[j][p] - (ll)m[i][p] * mul % mod + mod) % mod;
        }
      }
    }

    int ans = 1;

    for (int i = 1; i <= k; ++i) ans = (ll)ans * m[i][i] % mod;

    cout << ans << '\n';
  }

  return 0;
}

参考资料

Footnotes

证明来源于知乎 - LGV 引理证明 ↩