AIOJ

带花树算法（Blossom Algorithm）

开花算法（Blossom Algorithm，也被称做带花树）可以解决一般图最大匹配问题（maximum cardinality matchings）．此算法由 Jack Edmonds 在 1961 年提出．经过一些修改后也可以解决一般图最大权匹配问题．此算法是第一个给出证明说最大匹配有多项式复杂度．

一般图匹配和二分图匹配（bipartite matching）不同的是，图可能存在奇环．

general-matching-1

以此图为例，若直接取反（匹配边和未匹配边对调），会使得取反后的 $M$ 不合法，某些点会出现在两条匹配上，而问题就出在奇环．

下面考虑一般图的增广算法．从二分图的角度出发，每次枚举一个未匹配点，设出发点为根，标记为 「o」，接下来交错标记 「o」 和 「i」，不难发现 「i」 到 「o」 这段边是匹配边．

假设当前点是 $v$ ，相邻点为 $u$ ，可以分为以下两种情况：

$u$ 未拜访过，当 $u$ 是未匹配点，则找到增广路径，否则从 $u$ 的配偶找增广路．
$u$ 已拜访过，遇到标记「o」代表需要缩花，否则代表遇到偶环，跳过．

遇到偶环的情况，将他视为二分图解决，故可忽略．缩花后，再新图中继续找增广路．

general-matching-2

设原图为 $G$ ，缩花后的图为 $G'$ ，我们只需要证明：

若 $G$ 存在增广路， $G'$ 也存在．
若 $G'$ 存在增广路， $G$ 也存在．

general-matching-3

设非树边（形成环的那条边）为 $(u,v)$ ，定义花根 $h=LCA(u,v)$ ．奇环是交替的，有且仅有 $h$ 的两条邻边类型相同，都是非匹配边．那么进入 $h$ 的树边肯定是匹配边，环上除了 $h$ 以外其他点往环外的边都是非匹配边．

观察可知，从环外的边出去有两种情况，顺时针或逆时针．

general-matching-4

于是缩花与 不缩花 都不影响正确性．

实作上找到花以后我们不需要真的缩花，可以用数组纪录每个点在以哪个点为根的那朵花中．

复杂度分析 Complexity Analysis

每次找增广路，遍历所有边，遇到花会维护花上的点， $O(|E|^2)$ ．

枚举所有未匹配点做增广路，总共 $O(|V||E|^2)$ ．

参考代码

// graph
template <typename T>
class graph {
 public:
  struct edge {
    int from;
    int to;
    T cost;
  };

  vector<edge> edges;
  vector<vector<int>> g;
  int n;

  graph(int _n) : n(_n) { g.resize(n); }

  virtual int add(int from, int to, T cost) = 0;
};

// undirectedgraph
template <typename T>
class undirectedgraph : public graph<T> {
 public:
  using graph<T>::edges;
  using graph<T>::g;
  using graph<T>::n;

  undirectedgraph(int _n) : graph<T>(_n) {}

  int add(int from, int to, T cost = 1) {
    assert(0 <= from && from < n && 0 <= to && to < n);
    int id = (int)edges.size();
    g[from].push_back(id);
    g[to].push_back(id);
    edges.push_back({from, to, cost});
    return id;
  }
};

// blossom / find_max_unweighted_matching
template <typename T>
vector<int> find_max_unweighted_matching(const undirectedgraph<T> &g) {
  std::mt19937 rng(std::random_device{}());
  vector<int> match(g.n, -1);   // 匹配
  vector<int> aux(g.n, -1);     // 时间戳记
  vector<int> label(g.n);       // 「o」或「i」
  vector<int> orig(g.n);        // 花根
  vector<int> parent(g.n, -1);  // 父节点
  queue<int> q;
  int aux_time = -1;

  auto lca = [&](int v, int u) {
    aux_time++;
    while (true) {
      if (v != -1) {
        if (aux[v] == aux_time) {  // 找到拜访过的点 也就是LCA
          return v;
        }
        aux[v] = aux_time;
        if (match[v] == -1) {
          v = -1;
        } else {
          v = orig[parent[match[v]]];  // 以匹配点的父节点继续寻找
        }
      }
      swap(v, u);
    }
  };  // lca

  auto blossom = [&](int v, int u, int a) {
    while (orig[v] != a) {
      parent[v] = u;
      u = match[v];
      if (label[u] == 1) {  // 初始点设为「o」找增广路
        label[u] = 0;
        q.push(u);
      }
      orig[v] = orig[u] = a;  // 缩花
      v = parent[u];
    }
  };  // blossom

  auto augment = [&](int v) {
    while (v != -1) {
      int pv = parent[v];
      int next_v = match[pv];
      match[v] = pv;
      match[pv] = v;
      v = next_v;
    }
  };  // augment

  auto bfs = [&](int root) {
    fill(label.begin(), label.end(), -1);
    iota(orig.begin(), orig.end(), 0);
    while (!q.empty()) {
      q.pop();
    }
    q.push(root);
    // 初始点设为「o」，这里以「0」代替「o」，「1」代替「i」
    label[root] = 0;
    while (!q.empty()) {
      int v = q.front();
      q.pop();
      for (int id : g.g[v]) {
        auto &e = g.edges[id];
        int u = e.from ^ e.to ^ v;
        if (label[u] == -1) {  // 找到未拜访点
          label[u] = 1;        // 标记「i」
          parent[u] = v;
          if (match[u] == -1) {  // 找到未匹配点
            augment(u);          // 寻找增广路径
            return true;
          }
          // 找到已匹配点 将与她匹配的点丢入queue 延伸交错树
          label[match[u]] = 0;
          q.push(match[u]);
          continue;
        } else if (label[u] == 0 && orig[v] != orig[u]) {
          // 找到已拜访点 且标记同为「o」代表找到「花」
          int a = lca(orig[v], orig[u]);
          // 找LCA 然后缩花
          blossom(u, v, a);
          blossom(v, u, a);
        }
      }
    }
    return false;
  };  // bfs

  auto greedy = [&]() {
    vector<int> order(g.n);
    // 随机打乱 order
    iota(order.begin(), order.end(), 0);
    shuffle(order.begin(), order.end(), rng);

    // 将可以匹配的点匹配
    for (int i : order) {
      if (match[i] == -1) {
        for (auto id : g.g[i]) {
          auto &e = g.edges[id];
          int to = e.from ^ e.to ^ i;
          if (match[to] == -1) {
            match[i] = to;
            match[to] = i;
            break;
          }
        }
      }
    }
  };  // greedy

  // 一开始先随机匹配
  greedy();
  // 对未匹配点找增广路
  for (int i = 0; i < g.n; i++) {
    if (match[i] == -1) {
      bfs(i);
    }
  }
  return match;
}

UOJ #79. 一般图最大匹配

#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <iostream>
#include <numeric>
#include <queue>
#include <random>
#include <vector>
using namespace std;

// graph
template <typename T>
class graph {
 public:
  struct edge {
    int from;
    int to;
    T cost;
  };

  vector<edge> edges;
  vector<vector<int>> g;
  int n;

  graph(int _n) : n(_n) { g.resize(n); }

  virtual int add(int from, int to, T cost) = 0;
};

// undirectedgraph
template <typename T>
class undirectedgraph : public graph<T> {
 public:
  using graph<T>::edges;
  using graph<T>::g;
  using graph<T>::n;

  undirectedgraph(int _n) : graph<T>(_n) {}

  int add(int from, int to, T cost = 1) {
    assert(0 <= from && from < n && 0 <= to && to < n);
    int id = (int)edges.size();
    g[from].push_back(id);
    g[to].push_back(id);
    edges.push_back({from, to, cost});
    return id;
  }
};

// blossom / find_max_unweighted_matching
template <typename T>
vector<int> find_max_unweighted_matching(const undirectedgraph<T> &g) {
  std::mt19937 rng(114514);  // 这里随机种子是无关紧要的
  // 也可以用 chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count()
  // 获取当前时间
  vector<int> match(g.n, -1);   // 匹配
  vector<int> aux(g.n, -1);     // 时间戳记
  vector<int> label(g.n);       // "o" or "i"
  vector<int> orig(g.n);        // 花根
  vector<int> parent(g.n, -1);  // 父节点
  queue<int> q;
  int aux_time = -1;

  auto lca = [&](int v, int u) {
    aux_time++;
    while (true) {
      if (v != -1) {
        if (aux[v] == aux_time) {  // 找到拜访过的点 也就是LCA
          return v;
        }
        aux[v] = aux_time;
        if (match[v] == -1) {
          v = -1;
        } else {
          v = orig[parent[match[v]]];  // 以匹配点的父节点继续寻找
        }
      }
      swap(v, u);
    }
  };  // lca

  auto blossom = [&](int v, int u, int a) {
    while (orig[v] != a) {
      parent[v] = u;
      u = match[v];
      if (label[u] == 1) {  // 初始点设为"o" 找增广路
        label[u] = 0;
        q.push(u);
      }
      orig[v] = orig[u] = a;  // 缩花
      v = parent[u];
    }
  };  // blossom

  auto augment = [&](int v) {
    while (v != -1) {
      int pv = parent[v];
      int next_v = match[pv];
      match[v] = pv;
      match[pv] = v;
      v = next_v;
    }
  };  // augment

  auto bfs = [&](int root) {
    fill(label.begin(), label.end(), -1);
    iota(orig.begin(), orig.end(), 0);
    while (!q.empty()) {
      q.pop();
    }
    q.push(root);
    // 初始点设为 "o", 这里以"0"代替"o", "1"代替"i"
    label[root] = 0;
    while (!q.empty()) {
      int v = q.front();
      q.pop();
      for (int id : g.g[v]) {
        auto &e = g.edges[id];
        int u = e.from ^ e.to ^ v;
        if (label[u] == -1) {  // 找到未拜访点
          label[u] = 1;        // 标记 "i"
          parent[u] = v;
          if (match[u] == -1) {  // 找到未匹配点
            augment(u);          // 寻找增广路径
            return true;
          }
          // 找到已匹配点 将与她匹配的点丢入queue 延伸交错树
          label[match[u]] = 0;
          q.push(match[u]);
          continue;
        } else if (label[u] == 0 && orig[v] != orig[u]) {
          // 找到已拜访点 且标记同为"o" 代表找到"花"
          int a = lca(orig[v], orig[u]);
          // 找LCA 然后缩花
          blossom(u, v, a);
          blossom(v, u, a);
        }
      }
    }
    return false;
  };  // bfs

  auto greedy = [&]() {
    vector<int> order(g.n);
    // 随机打乱 order
    iota(order.begin(), order.end(), 0);
    shuffle(order.begin(), order.end(), rng);

    // 将可以匹配的点匹配
    for (int i : order) {
      if (match[i] == -1) {
        for (auto id : g.g[i]) {
          auto &e = g.edges[id];
          int to = e.from ^ e.to ^ i;
          if (match[to] == -1) {
            match[i] = to;
            match[to] = i;
            break;
          }
        }
      }
    }
  };  // greedy

  // 一开始先随机匹配
  greedy();
  // 对未匹配点找增广路
  for (int i = 0; i < g.n; i++) {
    if (match[i] == -1) {
      bfs(i);
    }
  }
  return match;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);

  int n, m;
  cin >> n >> m;

  undirectedgraph<int> g(n);

  while (m--) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    g.add(u - 1, v - 1);  // 0-based
  }

  auto match = find_max_unweighted_matching(g);

  cout << count_if(match.begin(), match.end(), [](int x) { return x != -1; }) /
              2
       << endl;
  for (int i = 0; i < n; i++) cout << match[i] + 1 << " \n"[i == n - 1];

  return 0;
}

基于高斯消元的一般图匹配算法

提示

在阅读以下内容前，你可能需要先阅读「线性代数」部分中关于矩阵的内容：

这一部分将介绍一种基于高斯消元的一般图匹配算法．与传统的带花树算法相比，它的优势在于更易于理解与编写，同时便于解决「最大匹配中的必须点」等问题；缺点在于常数比较大，因为高斯消元的 $O(n^3)$ 基本是跑满的，而带花树一般跑不满．

前置知识：Tutte 矩阵

定义：对于一张 $n$ 个点的无向图 $G = (V, E)$ ，其 Tutte 矩阵 $\tilde{A}(G)$ 为一个 $n \times n$ 的矩阵，其中：

\tilde{A}(G)_{i,j} = \begin{cases} x_{i,j}, & i<j,\; (v_i, v_j)\in E \\ -x_{i,j}, & i > j,\; (v_i, v_j) \in E \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

其中 $x_{i, j}$ 是一个变量，因此 $\tilde{A}(G)$ 中共有 $|E|$ 个变量．

在无歧义的情况下，以下将 $\tilde{A}(G)$ 简写为 $\tilde{A}$ ．

定理（Tutte 定理）： $G$ 存在完美匹配当且仅当 $\det \tilde{A} \ne 0$ ．

证明

这里引入「偶环覆盖」的概念：一个无向图 $G$ 的偶环覆盖指用若干偶环（包括二元环）不重不漏地覆盖所有的点．

易证 $G$ 存在完美匹配当且仅当 $G$ 存在偶环覆盖．

如果 $G$ 存在偶环覆盖，我们只需要在每个环都隔一条取一条边，就可以得到一个完美匹配．
如果 $G$ 存在完美匹配，我们只需要将匹配边对应的二元环取出，就可以得到一个偶环覆盖．

然后证明 $G$ 存在偶环覆盖当且仅当 $\tilde{A} \ne 0$ ．

考虑行列式的定义

\det A = \sum_{\pi} (-1)^{\pi} \prod_{i} A_{i, \pi_i}

其中 $\pi$ 是任意排列， $(-1)^{\pi}$ 表示若 $\pi$ 中的逆序对数为奇数，则取 $-1$ ，否则取 $1$ ．

不难看出每个排列都可以被看作 $G$ 的一个环覆盖．如果这个环覆盖中存在奇环，则将这个环翻转后的和一定为 $0$ ，因此只有偶环覆盖才能使行列式不为 $0$ ，证毕．

定理： $\operatorname{rank}\tilde{A}$ 一定为偶数，并且 $G$ 的最大匹配的大小等于 $\operatorname{rank}\tilde{A}$ 的一半．

证明

反对称矩阵的秩只能是偶数；后者请读者自行思考．

实际应用中不可能带着 $|E|$ 个变量进行计算，不过可以取一个数域，例如取某个素数 $p$ 的剩余系 $\mathcal{Z}_p$ ，将变量分别随机替换为 $\mathcal{Z}_p$ 中的数，再进行计算．方便起见，在无歧义的情况下，以下用 $\tilde{A}$ 直接指代替换后的矩阵．

定理： $\operatorname{rank}\tilde{A}$ 至多为 $G$ 的最大匹配大小的两倍，并且二者相等的概率至少为 $1 - \frac n p$ ．

考虑到一般图最大匹配中 $n$ 基本不会超过 $10^3$ ，实际中 $p$ 取 $10^9$ 数量级的素数就足够了．

由定理可知，如果只需要求最大匹配数，而无需匹配方案，那么只需要用一次高斯消元求出 $\operatorname{rank}\tilde{A}$ 即可，远比带花树简洁．不过如果需要输出方案，会稍微复杂一些，需要用到下面介绍的算法．

构造完美匹配

由 Tutte 定理和上面的定理可知，如果 $G$ 存在完美匹配，那么 $\tilde{A}$ 有很大概率满秩．方便起见，以下叙述中均省略「有很大概率」．

记 $G$ 中标号为 $i$ 的点为 $v_i$ ，进一步地我们有如下定理：

定理： $\tilde{A}^{-1}_{j,i} \ne 0 \iff G - \{v_i, v_j\}$ 有完美匹配．

逆矩阵与伴随矩阵

对任意 $n$ 阶方阵 $A$ ，定义其伴随矩阵为 $A^*_{i, j} = (-1)^{i + j} M_{j, i}$ ，其中 $M_{j, i}$ 为删去第 $j$ 行第 $i$ 列的余子式．换言之，设 $A$ 的代数余子式矩阵为 $M$ ，则 $A^* = M^T$ ．

定理：如果 $A$ 可逆，那么 $A^{-1} = \frac 1 {\det A} A^*$ ．

所以这里的 $A^{-1}_{j, i} \ne 0 \iff M_{i, j} \ne 0$ ，也就是 $A$ 删去第 $i$ 行第 $j$ 列后的部分满秩．

换言之，如果 $(v_i, v_j) \in E$ ，并且 $\tilde{A}^{-1}_{j, i} \ne 0$ ，就表明存在一个完美匹配方案包含 $(v_i, v_j)$ 这条边．以下将这种边称为 可行边．

由如上定理，对于一个有完美匹配的无向图 $G$ ，我们可以得到一个比较显然的暴力算法来寻找一组完美匹配：每次枚举 $i, j$ ，如果 $(v_i, v_j)$ 是一条可行边（连边存在，并且 $\tilde{A}^{-1}_{j, i} \ne 0$ ），就将 $(v_i, v_j)$ 加入匹配方案，并在 $G$ 中都删掉这两个点，再重新计算新的 $\tilde{A}^{-1}$ ．

总共要做 $\frac n 2$ 轮，每轮都是 $O(n^3)$ 的，总的复杂度是 $O(n ^ 4)$ ，有点慢了．实际上我们在重新计算 $\tilde{A}^{-1}$ 时，不必每次都重新用高斯消元求逆矩阵，而是可以利用如下定理：

定理（消去定理）：令

A = \begin{bmatrix} a_{1, 1} & v^T \\ u & B \end{bmatrix} \quad A^{-1} = \begin{bmatrix} \hat a^{1, 1} & \hat v^T \\ \hat u & \hat B \end{bmatrix}

并且 $\hat a_{1, 1} \ne 0$ , 那么就有

B^{-1} = \hat B - \frac {\hat u \hat v^T} {\hat a_{1, 1}}

定理中描述的是消去第一行第一列的情况．实际上，它可以非常显然地推广到消去任意一行一列的情况，因此我们只需在算法最开始计算一次 $\tilde{A}^{-1}$ ，后面每次删除两个点时，只需执行两次 $O(n^2)$ 的消去过程即可．

描述有些抽象，可以参考 C++ 代码

void eliminate(int A[][MAXN], int r, int c) {  // 消去第 r 行第 c 列
  row_marked[r] = col_marked[c] = true;        // 已经被消掉

  int inv = quick_power(A[r][c], p - 2);  // 逆元

  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (!row_marked[i] && A[i][c]) {
      int tmp = (long long)A[i][c] * inv % p;

      for (int j = 1; j <= n; j++)
        if (!col_marked[j] && A[r][j])
          A[i][j] = (A[i][j] - (long long)tmp * A[r][j]) % p;
    }
}

总共要做 $\frac n 2$ 轮，每轮复杂度为 $O(n^2)$ ，因此上述算法可以在 $O(n^3)$ 的时间内找到一组完美匹配．

构造最大匹配

我们刚刚已经解决了构造一组完美匹配的问题，但是求解问题时一般需要最大匹配．

前面已经提到， $G$ 的最大匹配大小等于 $\operatorname{rank}\tilde{A}$ 的一半．如果我们能找到 $\tilde{A}$ 的一个最大满秩子方阵，那么对子方阵对应的导出子图求出一组完美匹配，即可找到 $G$ 的一组最大匹配．

换一个角度考虑，如果 $G$ 有完美匹配，那么 $\tilde{A}$ 满秩，换言之， $\tilde{A}$ 是线性无关的．那么如果 $\tilde{A}$ 不是满秩的，我们可以求出 $\tilde{A}$ 的一组线性基，然后只保留线性基对应的行列，就可以得到 $\tilde{A}$ 的一个最大满秩子方阵．

求出最大满秩子方阵之后，再用上面的算法找出导出子图的一组完美匹配，即可得到原图的一组最大匹配．注意由于高斯消元中可能会有行的交换，因此实现时要注意维护好点的编号．

UOJ #79. 一般图最大匹配

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <random>
#include <utility>
using namespace std;

constexpr int MAXN = 505, p = (int)1e9 + 7;

int qpow(int a, int b) {
  int ans = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) ans = (long long)ans * a % p;
    a = (long long)a * a % p;
    b >>= 1;
  }
  return ans;
}

int A[MAXN][MAXN], B[MAXN][MAXN], t[MAXN][MAXN], id[MAXN];

// 高斯消元 O(n^3)
// 在传入 B 时表示计算逆矩阵, 传入 nullptr 则只需计算矩阵的秩
void Gauss(int A[][MAXN], int B[][MAXN], int n) {
  if (B) {
    memset(B, 0, sizeof(t));
    for (int i = 1; i <= n; i++) B[i][i] = 1;
  }

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (!A[i][i]) {
      for (int j = i + 1; j <= n; j++)
        if (A[j][i]) {
          swap(id[i], id[j]);
          for (int k = i; k <= n; k++) swap(A[i][k], A[j][k]);

          if (B)
            for (int k = 1; k <= n; k++) swap(B[i][k], B[j][k]);
          break;
        }

      if (!A[i][i]) continue;
    }

    int inv = qpow(A[i][i], p - 2);

    for (int j = 1; j <= n; j++)
      if (i != j && A[j][i]) {
        int t = (long long)A[j][i] * inv % p;

        for (int k = i; k <= n; k++)
          if (A[i][k]) A[j][k] = (A[j][k] - (long long)t * A[i][k]) % p;

        if (B) {
          for (int k = 1; k <= n; k++)
            if (B[i][k]) B[j][k] = (B[j][k] - (long long)t * B[i][k]) % p;
        }
      }
  }

  if (B)
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int inv = qpow(A[i][i], p - 2);

      for (int j = 1; j <= n; j++)
        if (B[i][j]) B[i][j] = (long long)B[i][j] * inv % p;
    }
}

bool row_marked[MAXN] = {false}, col_marked[MAXN] = {false};

int sub_n;  // 极大满秩子矩阵的大小

// 消去一行一列 O(n^2)
void eliminate(int r, int c) {
  row_marked[r] = col_marked[c] = true;  // 已经被消掉

  int inv = qpow(B[r][c], p - 2);

  for (int i = 1; i <= sub_n; i++)
    if (!row_marked[i] && B[i][c]) {
      int t = (long long)B[i][c] * inv % p;

      for (int j = 1; j <= sub_n; j++)
        if (!col_marked[j] && B[r][j])
          B[i][j] = (B[i][j] - (long long)t * B[r][j]) % p;
    }
}

int vertices[MAXN], girl[MAXN];  // girl 是匹配点, 用来输出方案

int main() {
  cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
  auto rng = mt19937(random_device{}());

  int n, m;
  cin >> n >> m;  // 点数和边数

  while (m--) {
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    A[x][y] = rng() % p;
    A[y][x] = -A[x][y];  // Tutte 矩阵
  }

  for (int i = 1; i <= n; i++)
    id[i] = i;  // 输出方案用的，因为高斯消元的时候会交换列
  memcpy(t, A, sizeof(t));

  Gauss(A, nullptr, n);

  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (A[id[i]][id[i]]) vertices[++sub_n] = i;  // 找出一个极大满秩子矩阵

  for (int i = 1; i <= sub_n; i++)
    for (int j = 1; j <= sub_n; j++) A[i][j] = t[vertices[i]][vertices[j]];

  Gauss(A, B, sub_n);

  for (int i = 1; i <= sub_n; i++)
    if (!girl[vertices[i]])
      for (int j = i + 1; j <= sub_n; j++)
        if (!girl[vertices[j]] && t[vertices[i]][vertices[j]] && B[j][i]) {
          // 注意上面那句 if 的写法, 现在 t 是邻接矩阵的备份，
          // 逆矩阵 j 行 i 列不为 0 当且仅当这条边可行
          girl[vertices[i]] = vertices[j];
          girl[vertices[j]] = vertices[i];

          eliminate(i, j);
          eliminate(j, i);
          break;
        }

  cout << sub_n / 2 << '\n';
  for (int i = 1; i <= n; i++) cout << girl[i] << ' ';

  return 0;
}

习题

参考资料

Mucha M, Sankowski P.Maximum matchings via Gaussian elimination
周子鑫，杨家齐《基于线性代数的一般图匹配》
ZYQN 《基于线性代数的一般图匹配算法》