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引入

替罪羊树 是一种依靠重构操作维持平衡的重量平衡树．替罪羊树会在插入、删除操作后，检测树是否发生失衡；如果失衡，将有针对性地进行重构以恢复平衡．

一般地，替罪羊树不支持区间操作，且无法完全持久化；但它具有实现简单、常数较小的优点．

基本结构和操作

替罪羊树的核心操作是重构、插入和删除操作．

节点信息

替罪羊树需要存储以下信息，用于树的自平衡操作：

树的结构信息：
- id：已使用节点数目；
- rt：根节点；
- lc[x]，rc[x]：左、右子节点；
- tot[x]：以 $x$ 为根的子树大小（每个节点计数为 $1$ ）¹；
- tot_active：整个树中未删除（即 cnt[x] != 0）的节点的数目．

当使用替罪羊树实现平衡树时，还需要存储如下信息：

平衡树的节点信息：
- val[x]：节点存储的值；
- cnt[x]：节点存储的值的计数（可能为 $0$ ）；
- sz[x]：以 $x$ 为根的子树存储的值的计数．

为了维护节点信息，可以实现 push_up 操作：

参考实现

// Update node info from its children.
void push_up(int x) {
  tot[x] = 1 + tot[lc[x]] + tot[rc[x]];
  sz[x] = cnt[x] + sz[lc[x]] + sz[rc[x]];
}

应注意 tot[x] 和 sz[x] 的更新方式的不同．

重构操作

当树发生失衡时，需要对某个子树进行重构，使之尽可能平衡．重构分为两步：

对要重构的子树做中序遍历，将所有未删除节点存到序列中；
二分建树，即取中点为根，左右两侧递归地建子树，并更新节点信息．

参考实现如下：

参考实现

// Tree -> Array.
void flatten(int x) {
  if (!x) return;
  flatten(lc[x]);
  if (cnt[x]) tmp[n_tmp++] = x;
  flatten(rc[x]);
}

// Array -> Tree.
int build(int ll, int rr) {
  if (ll > rr) return 0;
  int mm = (ll + rr) / 2;
  int x = tmp[mm];
  lc[x] = build(ll, mm - 1);
  rc[x] = build(mm + 1, rr);
  push_up(x);
  return x;
}

// Rebuild a subtree.
void rebuild(int& x) {
  n_tmp = 0;
  flatten(x);
  x = build(0, n_tmp - 1);
}

建树时注意维护节点信息，包括叶子节点的信息．

单次重构的复杂度是 $\Theta(|T_x|)$ 的，因此如果每次插入、删除时都进行重构，复杂度将难以接受．替罪羊树的核心思想就在于对重构时机的选择，进而实现了 $O(\log n)$ 的均摊复杂度．

插入操作

插入操作时，可能会引起树的失衡．为了判断树的失衡，需要引入参数 $\alpha\in(0.5,1)$ ，通常的选择在 $0.7\sim 0.8$ 之间．

如果新插入的节点的深度超过了 $\lfloor\log_{1/\alpha}|T|\rfloor$ ，其中， $|T|$ 为更新后的树的大小，就需要在回溯时寻找失衡发生的节点并进行重构．此时，需要根据如下条件判断以 $x$ 为根的子树失衡：

\max\{|T_{\mathrm{left}(x)}|,|T_{\mathrm{right}(x)}|\} > \alpha\cdot |T_x|,

其中， $\mathrm{left}(x)$ 和 $\mathrm{right}(x)$ 分别为 $x$ 的左、右子节点， $|T_x|$ 为以 $x$ 为根的子树大小．

插入操作的具体步骤如下：

首先利用二分查找树的性质向下找到插入值的位置，下探时记录深度；
如果已经有节点，直接修改节点信息，否则新建节点；
如果新建节点过深，就需要自下而上回溯到根，更新节点信息，并记录第一个（或任意一个）子树失衡的节点；
如果存在失衡节点，重构失衡节点的子树．

参考实现如下：

参考实现

// Insert v into subtree of x.
bool insert(int& x, int v, int dep) {
  bool check = false;
  if (!x) {
    x = ++id;
    val[x] = v;
    check = dep > std::log(tot[rt] + 1) / std::log(1 / ALPHA);
  }
  if (val[x] == v) {
    if (!cnt[x]) ++tot_active;
    ++cnt[x];
  } else if (v < val[x]) {
    check = insert(lc[x], v, dep + 1);
  } else {
    check = insert(rc[x], v, dep + 1);
  }
  push_up(x);
  if (check && (tot[lc[x]] > ALPHA * tot[x] || tot[rc[x]] > ALPHA * tot[x])) {
    rebuild(x);
    return false;
  }
  return check;
}

// Insert v into the tree.
void insert(int v) { insert(rt, v, 0); }

注意，单次插入至多引起一次重构．如果没有新增节点或是新增节点并没有过深，又或是本次回溯过程中已经执行过重构，就不需要继续判断失衡了．多余的重构可能会导致效率损失²．回溯过程中的第一个失衡节点，就是所谓的「替罪羊」．

删除操作

删除操作的处理则非常简单．替罪羊树的删除策略是「懒删除」，即节点为空时，不移除节点，而是留待后续处理．

当然，如果树中空节点过多，树的访问效率会大大下降．因此，替罪羊树维护两个计数，整个树中未删除节点的数目和整个树实际使用的节点数目．对于选定的阈值³ $\alpha\in(0,1)$ ，当前者与后者的比值下降到 $\alpha$ 以下时，就对整个树做一次重构，重构时删除所有空节点．

参考实现

// Remove v from subtree of x.
bool remove(int x, int v) {
  if (!x) return false;
  bool succ = true;
  if (v < val[x]) {
    succ = remove(lc[x], v);
  } else if (v > val[x]) {
    succ = remove(rc[x], v);
  } else if (cnt[x]) {
    --cnt[x];
    if (!cnt[x]) --tot_active;
  } else {
    succ = false;
  }
  push_up(x);
  return succ;
}

// Remove v from the tree.
bool remove(int v) {
  bool succ = remove(rt, v);
  if (!tot_active) {
    rt = 0;
  } else if (succ && tot_active < tot[rt] * ALPHA) {
    rebuild(rt);
  }
  return succ;
}

时间复杂度

大小为 $n$ 的替罪羊树的访问节点的时间复杂度为单次 $O(\log n)$ 的， $\Theta(n)$ 次插入和删除的均摊时间复杂度也是单次 $O(\log n)$ 的．

本节对替罪羊树的时间复杂度仅做简要论证，详细证明请参考原论文．

替罪羊树的时间复杂度的论证

由于采用懒删除的策略，未删除节点数目为 $n$ 的替罪羊树可能占用了 $\alpha^{-1}n$ 个节点．由于仅仅相差一个常数因子，本文在表述中并不区分替罪羊树的未删除节点数目和占用节点数目，而统一称为「树的大小」．

访问操作：访问操作的复杂度得以保证，是因为大小为 $n$ 的替罪羊树的树高总是 $O(\log n)$ 的．

首先，区分两个概念：
- $\alpha$ ‑重量平衡：所有节点处，左、右子节点的子树的大小均不超过该节点处子树的大小的 $\alpha$ 倍；
- $\alpha$ ‑高度平衡：树的高度不超过 $\lfloor\log_{1/\alpha}|T|\rfloor$ ，其中， $T$ 是树的大小．
$\alpha$ ‑重量平衡可以推出 $\alpha$ ‑高度平衡，因为子节点深度每增加一，大小就减少到原来的 $\alpha$ 倍；反过来则不一定成立．更严格地说，每次操作结束后，替罪羊树都总是 $\alpha$ ‑高度平衡的⁴，这就保证了访问操作的复杂度．

只有插入操作会改变树的结构，所以只需要说明每次插入操作后，替罪羊树都仍是 $\alpha$ ‑高度平衡的．如果新插入的节点过深，造成了整个树不再 $\alpha$ ‑高度平衡，那么自该节点回溯至根时，至少会碰上一个节点，即「替罪羊」，它的子树不再 $\alpha$ ‑重量平衡．将其重构后，子树的高度将降低至少一，故而新插入的节点将不再过深．
插入操作：插入操作的复杂度是均摊 $O(\log n)$ 的．

设在某次插入操作后，节点 $x$ 处发生一次子树的重构，时间成本为 $\Theta(|T_x|)$ ．因为节点 $x$ 刚插入时，或者它刚刚经历了（自身或祖先节点的）上一次重构之后，它的左右子树至多只相差一个节点．而在这次重构之前，节点 $x$ 处必然成立
$\max\{|T_{\mathrm{left}(x)}|,|T_{\mathrm{right}(x)}|\} > \alpha\cdot |T_x|.$
这一条件保证左右子树的大小的差值至少为 $(2\alpha-1)|T_x|$ 的．因而，这两次重构之间，子树 $T_x$ 中插入了 $\Omega(|T_x|)$ 个节点．

利用摊还分析可知⁵，如果每次插入节点时，都在（可能的重构前）自根到该节点的路径上的每个节点都增加 $\Theta(1)$ 的势能，那么到节点 $x$ 处子树重构前，必然已经在节点 $x$ 处累积了 $\Omega(|T_x|)$ 的势能，足以用于偿还 $x$ 处子树重构的成本 $\Theta(|T_x|)$ ．因为树的深度都是 $O(\log n)$ 的，所以单次插入增加的势能是 $O(\log n)$ 的；这说明， $\Theta(n)$ 次插入操作中势能增加的总和是 $O(n\log n)$ 的．由此，子树重构的总成本也是 $O(n\log n)$ 的，单次插入操作（含重构）的均摊时间复杂度就是 $O(\log n)$ 的．

注意，分析中没有假定在节点 $x$ 处的两次重构之间，子树 $T_x$ 内部没有发生其它的重构．因此，只要只重构满足失衡条件的节点处的子树，就能保证复杂度正确．
删除操作：删除操作的复杂度也是均摊 $O(\log n)$ 的．

删除引起的重构会导致整个树不含空节点．而某次删除引起重构之前，整个树中已经有 $\Theta(n)$ 个空节点，这意味着至少进行了 $\Theta(n)$ 次删除操作．因为每次删除操作的寻址的复杂度是 $O(\log n)$ 的，且单次重构的复杂度是 $\Theta(n)$ ，所以这 $\Theta(n)$ 次删除操作的实际时间成本为
$\Theta(n)O(\log n)+\Theta(n)$
的．故而，单次删除的均摊复杂度为 $O(\log n)$ 的．

平衡树操作

本节介绍用替罪羊树维护可重集的方法．

除上节介绍的操作外，其余操作均为平衡树的常见操作．但是，因为替罪羊树中可能存在空节点，这些操作也需要相应调整．

查询排名

利用二分查找树的性质向下查找节点位置，过程中记录路径左侧存储的值的数目即可．

参考实现

// Find the rank of v, i.e., #{val < v} + 1.
int find_rank(int v) {
  int res = 0;
  int x = rt;
  while (x && val[x] != v) {
    if (v < val[x]) {
      x = lc[x];
    } else {
      res += sz[lc[x]] + cnt[x];
      x = rc[x];
    }
  }
  return res + sz[lc[x]] + 1;
}

根据排名查询值

利用节点记录的子树存储值的数目信息向下查找即可．注意可能存在计数为零的节点．

参考实现

// Find the k-th smallest element.
int find_kth(int k) {
  if (k <= 0 || sz[rt] < k) return -1;
  int x = rt;
  for (;;) {
    if (k <= sz[lc[x]]) {
      x = lc[x];
    } else if (k <= sz[lc[x]] + cnt[x]) {
      return val[x];
    } else {
      k -= sz[lc[x]] + cnt[x];
      x = rc[x];
    }
  }
  return -1;
}

查询前驱、后继

以上两种功能结合即可．

参考实现

// Find predecessor.
int find_prev(int x) { return find_kth(find_rank(x) - 1); }

// Find successor.
int find_next(int x) { return find_kth(find_rank(x + 1)); }

如果想直接实现，应注意处理计数为零的节点．

参考实现

本节的最后，给出模板题普通平衡树的参考实现．

参考实现

#include <cmath>
#include <iostream>

constexpr int N = 2e6;
constexpr double ALPHA = 0.7;
int id, rt, lc[N], rc[N], tot[N], tot_active;  // Tree structure info.
int tmp[N], n_tmp;                             // Space for rebuilding trees.
int val[N], cnt[N], sz[N];                     // Node info.

// --8<-- [start:push-up]
// Update node info from its children.
void push_up(int x) {
  tot[x] = 1 + tot[lc[x]] + tot[rc[x]];
  sz[x] = cnt[x] + sz[lc[x]] + sz[rc[x]];
}

// --8<-- [end:push-up]
// --8<-- [start:rebuild]
// Tree -> Array.
void flatten(int x) {
  if (!x) return;
  flatten(lc[x]);
  if (cnt[x]) tmp[n_tmp++] = x;
  flatten(rc[x]);
}

// Array -> Tree.
int build(int ll, int rr) {
  if (ll > rr) return 0;
  int mm = (ll + rr) / 2;
  int x = tmp[mm];
  lc[x] = build(ll, mm - 1);
  rc[x] = build(mm + 1, rr);
  push_up(x);
  return x;
}

// Rebuild a subtree.
void rebuild(int& x) {
  n_tmp = 0;
  flatten(x);
  x = build(0, n_tmp - 1);
}

// --8<-- [end:rebuild]
// --8<-- [start:insert]
// Insert v into subtree of x.
bool insert(int& x, int v, int dep) {
  bool check = false;
  if (!x) {
    x = ++id;
    val[x] = v;
    check = dep > std::log(tot[rt] + 1) / std::log(1 / ALPHA);
  }
  if (val[x] == v) {
    if (!cnt[x]) ++tot_active;
    ++cnt[x];
  } else if (v < val[x]) {
    check = insert(lc[x], v, dep + 1);
  } else {
    check = insert(rc[x], v, dep + 1);
  }
  push_up(x);
  if (check && (tot[lc[x]] > ALPHA * tot[x] || tot[rc[x]] > ALPHA * tot[x])) {
    rebuild(x);
    return false;
  }
  return check;
}

// Insert v into the tree.
void insert(int v) { insert(rt, v, 0); }

// --8<-- [end:insert]
// --8<-- [start:remove]
// Remove v from subtree of x.
bool remove(int x, int v) {
  if (!x) return false;
  bool succ = true;
  if (v < val[x]) {
    succ = remove(lc[x], v);
  } else if (v > val[x]) {
    succ = remove(rc[x], v);
  } else if (cnt[x]) {
    --cnt[x];
    if (!cnt[x]) --tot_active;
  } else {
    succ = false;
  }
  push_up(x);
  return succ;
}

// Remove v from the tree.
bool remove(int v) {
  bool succ = remove(rt, v);
  if (!tot_active) {
    rt = 0;
  } else if (succ && tot_active < tot[rt] * ALPHA) {
    rebuild(rt);
  }
  return succ;
}

// --8<-- [end:remove]
// --8<-- [start:find-rank]
// Find the rank of v, i.e., #{val < v} + 1.
int find_rank(int v) {
  int res = 0;
  int x = rt;
  while (x && val[x] != v) {
    if (v < val[x]) {
      x = lc[x];
    } else {
      res += sz[lc[x]] + cnt[x];
      x = rc[x];
    }
  }
  return res + sz[lc[x]] + 1;
}

// --8<-- [end:find-rank]
// --8<-- [start:find-kth]
// Find the k-th smallest element.
int find_kth(int k) {
  if (k <= 0 || sz[rt] < k) return -1;
  int x = rt;
  for (;;) {
    if (k <= sz[lc[x]]) {
      x = lc[x];
    } else if (k <= sz[lc[x]] + cnt[x]) {
      return val[x];
    } else {
      k -= sz[lc[x]] + cnt[x];
      x = rc[x];
    }
  }
  return -1;
}

// --8<-- [end:find-kth]
// --8<-- [start:pred-succ]
// Find predecessor.
int find_prev(int x) { return find_kth(find_rank(x) - 1); }

// Find successor.
int find_next(int x) { return find_kth(find_rank(x + 1)); }

// --8<-- [end:pred-succ]
int main() {
  int n;
  std::cin >> n;
  for (; n; --n) {
    int op, x;
    std::cin >> op >> x;
    switch (op) {
      case 1:
        insert(x);
        break;
      case 2:
        remove(x);
        break;
      case 3:
        std::cout << find_rank(x) << '\n';
        break;
      case 4:
        std::cout << find_kth(x) << '\n';
        break;
      case 5:
        std::cout << find_prev(x) << '\n';
        break;
      case 6:
        std::cout << find_next(x) << '\n';
        break;
    }
  }
  return 0;
}

参考资料

Galperin, Igal, and Ronald L. Rivest. "Scapegoat trees." Proceedings of the fourth annual ACM-SIAM Symposium on Discrete algorithms. 1993.
Scapegoat Tree - Wikipedia
替罪羊树 - riteme 的博客

Footnotes

也可以只统计未删除节点数目，此时不再需要统计 tot_active，而需要统计所有占用节点数目 tot_max，代码相应调整即可． ↩
根据后文的复杂度分析可知，这些效率损失仅意味着更大的常数因子，而复杂度依然是正确的．因为判断树深可能会涉及较多的浮点数对数运算，不判断树深只判断失衡的代码在某些数据中可能更快． ↩
不必与上文插入操作时选取的参数相同．尽管原论文做了这样的假定，但是选取不同的参数只会导致单次操作的复杂度中常数项的变化，整体复杂度依然是正确的． ↩
按原文定义， $n$ 指未删除节点的数目，故而只能保证树高不超过 $\lfloor\log_{1/\alpha}n\rfloor+1$ ，这称为弱 $\alpha$ ‑高度平衡．此处没有细究该常数项的差异． ↩
有些文章会简单分析成 $\Omega(|T_x|)$ 次插入对应一次重构，故而均摊复杂度为 $\dfrac{\Omega(|T_x|)O(\log n)+\Theta(|T_x|)}{\Omega(|T_x|)} = O(\log n)$ ．这样的思路可以辅助理解均摊复杂度为什么正确，但并不严谨．这是因为，一次插入可能对应着多个祖先节点的重构，故而当节点 $x$ 发生重构时，子树内未引起重构的节点数目并不显然是 $\Omega(|T_x|)$ 的． ↩