状态设计优化

概述

优化 dp 时，不止可以从转移过程入手，加速转移．有时，也可以从状态定义入手，通过改变设计状态的方式实现复杂度上的优化．

令人比较头疼的是，这类优化大多不具有通用性，即不能很套路地应用于多个题目中．因此，下文将从具体例题出发，力求提供思路上的启发，希望可以对读者有一定帮助．

例 1

题面

给定两个长度分别为 $n,m$ 且仅由小写字母构成的字符串 $A,B$, 求 $A,B$ 的最长公共子序列．$(n\le 10^6,m\le 10^3)$

朴素的解法

您一眼秒了它，这不是板子吗？

定义状态 $f_{i,j}$ 为 $A$ 的前 $i$ 位与 $B$ 的前 $j$ 位最长公共子序列，则有

$$f_{i,j}= \begin{cases} \max(f_{i-1,j},f_{i,j-1}) & ,A_i \neq B_j \\ f_{i-1,j-1}+1 & ,A_i = B_j \end{cases}$$

上述做法的时间复杂度 $O(nm)$，无法通过本题．

更优的解法

我们仔细一想，发现了一个性质：最终答案不会超过 $m$．

我们又仔细一想，发现 LCS 满足贪心的性质．

更改状态定义 $f_{i,j}$ 为与 $B$ 前 $i$ 位的最长公共子序列长度为 $j$ 的 $A$ 的最短前缀长度（即将朴素做法的答案与第一维状态对调）

可以通过预处理 $A$ 的每一位的下一个 $a,b,\cdots,z$ 的出现位置进行 $O(1)$ 的顺推转移．

复杂度 $O(m^2+26n)$，可以通过本题．

例 2

题面

给定一个 $n$ 个点的无权有向图，判断该图是否存在哈密顿回路．$(2\le n\le 20)$

朴素的解法

看到数据范围，我们考虑状压．

设 $f_{s,i}$ 表示从点 $1$ 出发，仅经过点集 $s$ 中的点能否到达点 $i$．记 $g$ 为原图的邻接矩阵．则有

$$f_{s, i} = \bigvee_{j\in s, j\neq i}f_{s \setminus \{i\}, j}\wedge g_{j, i} \left(i\in s\right)$$

时间复杂度 $O(n^2 \times 2^n)$，写得好看或许能过，但是并不优美．

更优的解法

上面的状态设计中，每个 $dp$ 值只代表一个 bool 值，这让我们觉得有些浪费．

我们可以考虑对于每个状态 $s$ 将 $f_{s,1},f_{s,2},\dots,f_{s,n}$ 压成一个 int，发现我们可以将邻接矩阵同样压缩后进行 $O(1)$ 转移．

时间复杂度 $O(n^2/w\times 2^n)$, 可以通过这道题，其中 $w$ 为 int 的位数．

例 3

题面

常规的背包问题．$n$ 为物品数量，$m$ 为背包容量，$v_i, w_i$ 为第 $i$ 个物品的体积、价值，$1 \le n \le 10^3$，$1 \le m, v_i \le \color{red}{10^{18}}$，$1 \le \sum w_i \le 10^3$．

朴素的解法

这是一个模板背包题．

定义状态 $f_{i, j}$ 为选了前 $i$ 个物品，目前背包里塞了 $j$ 的容量的最大价值和．

易得 $f_{i, j} = \max(f_{i - 1, j}, f_{i - 1, j - v_i} + w_i)$．

$v_i \le 10^{18}$，无法通过此题．

更优的解法

交换答案和状态的第二维，设 $f_{i, j}$ 为选了前 $i$ 个物品，目前背包里的物品 的价值为 $j$ 的最小体积和．

依然，易得 $f_{i, j} = \min(f_{i - 1, j}, f_{i - 1, j - w_i} + v_i)$．

注意状态的第二维改变之后转移也要一起改变．

时间复杂度 $O(n \sum w_i)$，可以通过此题．