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前置知识：前缀和

提醒

本页面要介绍的不是 基数排序．

本页面将简要介绍计数排序．

定义

计数排序（英语：Counting sort）是一种线性时间的排序算法．

过程

计数排序的工作原理是使用一个额外的数组 $C$ ，其中第 $i$ 个元素是待排序数组 $A$ 中值等于 $i$ 的元素的个数，然后根据数组 $C$ 来将 $A$ 中的元素排到正确的位置．¹

它的工作过程分为三个步骤：

计算每个数出现了几次；
求出每个数出现次数的前缀和；
利用出现次数的前缀和，从右至左计算每个数的排名．

计算前缀和的原因

直接将 $C$ 中正数对应的元素依次放入 $A$ 中不能解决元素重复的情形．

我们通过为额外数组 $C$ 中的每一项计算前缀和，结合每一项的数值，就可以为重复元素确定一个唯一排名：

额外数组 $C$ 中每一项的数值即是该 key 值下重复元素的个数，而该项的前缀和即是排在最后一个的重复元素的排名．

如果按照 $A$ 的逆序进行排列，那么显然排序后的数组将保持 $A$ 的原序（相同 key 值情况下），也即得到一种稳定的排序算法．

counting sort animate example

性质

稳定性

计数排序是一种稳定的排序算法．

时间复杂度

计数排序的时间复杂度为 $O(n+w)$ ，其中 $w$ 代表待排序数据的值域大小．

代码实现

伪代码

\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. } \text{An array } A \text{ consisting of }n\text{ positive integers no greater than } w. \\ 2 & \textbf{Output. } \text{Array }A\text{ after sorting in nondecreasing order stably.} \\ 3 & \textbf{Method. } \\ 4 & \textbf{for }i\gets0\textbf{ to }w\\ 5 & \qquad \textit{cnt}[i]\gets0\\ 6 & \textbf{for }i\gets1\textbf{ to }n\\ 7 & \qquad \textit{cnt}[A[i]]\gets\textit{cnt}[A[i]]+1\\ 8 & \textbf{for }i\gets1\textbf{ to }w\\ 9 & \qquad \textit{cnt}[i]\gets \textit{cnt}[i]+\textit{cnt}[i-1]\\ 10 & \textbf{for }i\gets n\textbf{ downto }1\\ 11 & \qquad B[\textit{cnt}[A[i]]]\gets A[i]\\ 12 & \qquad \textit{cnt}[A[i]]\gets \textit{cnt}[A[i]]-1\\ 13 & \textbf{return } B \end{array}

C++

#include <cstring>
constexpr int MAXN = 1010;
constexpr int MAXW = 100010;

int cnt[MAXW], b[MAXN];

int* counting_sort(int* a, int n, int w) {
  memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
  for (int i = 1; i <= n; ++i) ++cnt[a[i]];
  for (int i = 1; i <= w; ++i) cnt[i] += cnt[i - 1];
  for (int i = n; i >= 1; --i) b[cnt[a[i]]--] = a[i];
  return b;
}

Python

def counting_sort(a, n, w):
    b = [0] * n
    cnt = [0] * (w + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        cnt[a[i]] += 1
    for i in range(1, w + 1):
        cnt[i] += cnt[i - 1]
    for i in range(n, 0, -1):
        b[cnt[a[i]] - 1] = a[i]
        cnt[a[i]] -= 1
    return b

参考资料与注释

Footnotes

计数排序 - 维基百科，自由的百科全书 ↩