[NOI2005] 月下柠檬树

[NOI2005] 月下柠檬树

李哲非常喜欢柠檬树。在静静的夜晚，当天空中有一弯明月温柔地照亮地面上的景物时，他总会悠闲地坐在自己亲手植下的那棵柠檬树旁，思索着人生的哲理。

某天，当他看到月光下柠檬树投在地面上的影子如此清晰时，一个问题浮现出来：树影的面积是多大呢？

直接测量面积很困难，于是李哲决定用几何的方法计算。他对这棵树的形状了解得非常清楚，并想好了简化的模型：

• 整棵柠檬树自下向上分成 $n$ 层，依次编号为 $1, 2, \ldots, n$；
• 第 $1$ 层到第 $n-1$ 层每层都是圆台，其上下底面都是水平的圆；相邻两个圆台中，上层的下底面与下层的上底面重合；
• 第 $n$ 层（最上面一层）是圆锥，它的底面就是第 $n-1$ 层圆台的上底面；
• 所有底面的圆心（包括树顶）都在同一条与地面垂直的直线上。

已知第 $i$ 层的高度为 $h_i$，第 $i$ 层下底面的圆半径为 $r_i$，第 $1$ 层圆台的下底面距地面的高度为 $h_0$。李哲还测出了月光与地面的夹角为 $\alpha$。

为便于计算，假设月光是平行光，地面是水平的，并忽略树干产生的影子。请你求出树影的面积。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$ 和一个实数 $\alpha$，分别表示柠檬树的层数和月光与地面的夹角（单位为弧度）。

第二行包含 $n+1$ 个实数 $h_0, h_1, h_2, \ldots, h_n$，分别表示树离地的高度和每层的高度。

第三行包含 $n$ 个实数 $r_1, r_2, \ldots, r_n$，表示每层下底面的圆半径。

同一行中相邻的两个数之间用一个空格分隔。输入的实数小数点后可能包含 $1$ 至 $10$ 位数字。

输出格式

输出一行一个实数，表示树影的面积，四舍五入保留两位小数。

样例输入

2 0.7853981633
10.0 10.00 10.00
4.00 5.00

样例输出

171.97

样例解释

树共两层：第 $1$ 层是下底半径 $4$、上底半径 $5$、高 $10$ 的圆台，第 $2$ 层是底面半径 $5$、高 $10$ 的圆锥，整棵树离地 $10$。月光与地面夹角为 $\dfrac{\pi}{4}$，此时树影面积约为 $171.97$。

数据范围

对于所有测试数据：

• $1\le n\le 500$；
• $0.3 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$；
• $0 < h_i\le 100$；
• $0 < r_i\le 100$。

来源与许可

本题为 CCF NOI 2005 试题「月下柠檬树」，题面与测试数据整理自 BZOJ 1502。

样例 1

输入

2 0.7853981633
10.0 10.00 10.00
4.00 5.00

输出

171.97